El nombre més gran del món

Es creu que el concepte de números es va originar per primera vegada quan la gent prehistòrica va començar a utilitzar els dits per comptar alguna cosa. Des de llavors, la humanitat ha recorregut un llarg camí. Ara fem servir calculadores i ordinadors per comptar els nombres més grans. I fins i tot han aparegut noms per a números tan grans que difícilment es poden imaginar.

Infinitat de nombres comptables

Sembla que la resposta a la pregunta sobre quin és el nombre més gran de matemàtiques és molt senzilla. Infinitat, no? Però això no és del tot correcte. Al cap i a la fi, l’infinit no és cap número, sinó un concepte. Idea.

Infinit (infinitum) és un concepte que en traducció del llatí significa "sense fronteres". La definició d’infinit en matemàtiques diu que, per molt gran que sigui, sempre se li pot afegir 1 i es farà més gran.

Per tant, estrictament parlant, no existeix el nombre més gran del món. Només podeu posar un nom específic al nombre més gran.

Alguns dels noms més famosos de grans quantitats són:

Quin és el nom del nombre primer més gran

Un nombre primer és aquell que només és divisible per si mateix i per un. A finals de 2018, l’americà Patrick Laroche va presentar el nombre primer més gran del món científic.

• La seva longitud és de 24.862.048 caràcters. Per a la comparació: en el treball de creació d’època de L.N. "Guerra i pau" de Tolstoi té entre 6 i 7 milions de caràcters, si incloeu puntuació i espais.
• Aquest número es pot escriure de la següent manera: 2^82589933-1
• I es diu així: dos al poder de 82589933 menys un.
• Hi ha tot un projecte en línia GIMPS, orientat exactament a trobar els primers més grans. Hi participen matemàtics de diferents països. Per tant, els nous titulars de registres apareixen amb freqüència. Els científics treballen, com diuen, no per por, sinó per diners. Al cap i a la fi, qui obri el següent primer de Mersenne més gran obtindrà 3.000 dòlars.

Quin és el nombre més gran del món

El 1980, el Llibre Guinness dels Rècords incloïa el número Graham (també conegut com G64 o G), que porta el nom del matemàtic nord-americà Ronald Graham. És el nombre més gran utilitzat mai en una prova matemàtica important. Estem parlant de la teoria de Frank Ramsey.

Breument sobre aquesta teoria: imaginem un cub de dimensió N, els seus vèrtexs estan connectats a l'atzar per segments de línia vermella o blava. I la nostra tasca és entendre fins a quin valor de N és possible (si pintem sobre les vores del cub de diferents maneres), evitar una situació en què un pla del cub estigui pintat amb el mateix color. És a dir, no hauríem d'obtenir un "sobre" d'un color.

Els matemàtics van pintar el cub d’aquesta manera i va resultar que fins a un cub de sis dimensions es pot crear i fer que les línies del mateix color que connecten els quatre vèrtexs no es trobin en el mateix pla. Però amb les set dimensions, com van descobrir Graham i Rothschild, aquest truc ja no és possible. I amb un model de vuit dimensions. I ... "i així successivament", que, però, no és infinit, sinó que acaba amb un nombre fantàsticament gegantí. És el que anomenen el número de Graham. Per cert, la solució de Graham i Rothschild ja no està actualitzada. Els matemàtics han descobert que encara es poden pintar cubs de 6-7-8-9-10-11-12 dimensions sense sobres. Però entre 13 i el nombre de Graham, es garanteix que hi haurà un nombre per sobre del qual hi haurà "sobres" en qualsevol cas.

El nombre de Graham va obtenir reconeixement mundial el 1977 quan el reconegut divulgador científic Martin Gardner va escriure sobre això a Scientific American.

I, tot i que des de llavors hi ha hagut altres candidats al títol del nombre més gran en matemàtiques, la "idea" de Graham és la més popular i coneguda. I si heu sentit a parlar de la "família del carbó":

• googol - 10¹⁰⁰;
  O bé: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
• googolplex - 10^googol,

llavors hauríeu de saber que aquests números en matemàtiques només són "pastar" i que el nombre de Graham és un nombre impensable de vegades més gran que ells. I fins i tot més d’un número Skuse entre 10¹⁹ i 1.3971672 10³¹⁶ i aproximadament igual e^{727,951336108}.

Curiosament, inventant el googol, el matemàtic nord-americà Edward Kazner va voler mostrar als estudiants la diferència entre un nombre increïblement gran i l’infinit. Aleshores, el número de Graham podria simplement "bufar-se la ment".

És possible imaginar i escriure un nombre més enllà de l’enteniment

Els matemàtics no us podran indicar el nombre exacte de dígits del número de Graham, i encara menys per comptar-lo. Només es coneixen els darrers 50 dígits del nombre més gran del món; això és ... 03222348723967018485186439059104575627262464195387.

Però es desconeixen els números amb què comença el G64 i és poc probable que ho siguin mai.

Comparem tres monstres: googol, googolplex i el número de Graham.

• Googol és el nombre de grans de sorra que poden cabre a l’univers, multiplicat per 10.000 milions.Imagineu-vos, doncs, un univers ple de petits grans de sorra, desenes de milers de milions d’anys llum sobre la Terra, a sota, davant, darrere, una sorra infinita.

Ara imagineu que en algun moment agafeu un gra de sorra per examinar-lo amb un microscopi potent. I veieu que, de fet, aquest no és l’únic gra, sinó 10.000 milions de grans microscòpics, i tots junts tenen la mida d’un gra de sorra. Si aquest fos el cas de cada gra de sorra d’aquest hipotètic univers, el total d’aquests grans microscòpics seria un googol.

• Per quantificar el googolplex, l’astrònom i astrofísic Carl Sagan va donar un exemple d’omplir tot el volum de l’univers observable amb partícules de pols fines d’aproximadament 1,5 micròmetres de mida. Basat en això, el nombre total de diferents combinacions en què es poden localitzar aquestes partícules serà aproximadament igual a un googolplex.
• Imagineu ara que un googolplex no és ni un gra de sorra, sinó un punt minúscul que només es pot veure a través del microscopi més potent. I tot el nostre univers està ple de punts tan diminuts. Per tant, fins i tot això no coincideix amb el nombre de Graham. Però, i si volem utilitzar tot l'espai de l'univers observable per gravar-lo (suposem que la gravació de cada dígit ocupa almenys el volum de Planck)? Per desgràcia, això no funcionarà per a nosaltres! Però sempre es pot anar cap a l’altre camí.

Com escriure G64 mitjançant el mètode de Knuth

El 1976, el científic nord-americà Donald Knuth va proposar el concepte de supergraus o la notació de Knuth. Aquest és un mètode que us permet escriure nombres molt grans mitjançant les fletxes que apunten cap amunt. L’exponentització s’indica amb una fletxa cap amunt: ↑.

Així és aquesta notació: a ↑ b = ab = a × a × a × ..., i així successivament b vegades.

• Per exemple 3 ↑ 3 = 3³.
• Googol s’escriu com a 10 ↑ 10 ↑ 2.
• I googolplex: 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 2

Una característica important de les fletxes cap amunt és que creixen molt ràpidament. L’exposició creix molt més ràpid que la multiplicació. 2 × 10 només és 20, però 2 ↑ 10 = 1024. De la mateixa manera, cada nou nivell de fletxes creix molt més ràpid que el nivell anterior.

Si us imagineu mentalment una torre de poder de tres bessons 3 ↑↑↑ 4, obtindreu una estructura que oscil·larà des de la Terra fins a Mart. Però ni tan sols hem arribat al "graó inferior" que ens porta al número de Graham.

Podem descriure el número de Graham amb un conjunt enorme d’aquestes fletxes cap amunt.

El més fàcil és pensar-ho en un procés iteratiu. Comencem per la part inferior amb g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3 i, a continuació, creem una segona fila (anomenem-la g 2) amb fletxes g 1 entre els tres bessons.

Llavors g 3 són dos triples, separats per g 2 fletxes cap amunt, etc., fins que g 64 amb g 63 fletxes entre els triples és un nombre de Graham.

Si trieu una vida útil igual al nombre de Graham en lloc de la immortalitat, el resultat serà gairebé el mateix. Fins i tot si assumim que les condicions de l’Univers, del Sistema Solar i de la Terra es mantindran per sempre inalterades, el cervell humà no podria suportar un període de temps tan llarg sense canvis perjudicials.